Weekly outline

  • 19 September - 25 September

    Τηνπρώτη εβδομάδα διδάχθηκαν βασικές έννοιες Θεωρίας Αριθμών μέχρο το Θεώρημα της μονοσήμσντης ανάλυσης. Φυσικά προσθέσαμε και παραγράφους οι οιποίες δεν διδάσκονται στο προπτυχιακό μάθημα όπως  οι "Τέλειοι Αριθμοί" μια περιοχή που έχει αρκετό ενδιαφέρον, κυρίως υπολογιστικό για την εύρεση του επόμενου πρώτου αριθμού Mersenne  καθώς και την Αριθμητική του συνόλου των αρτίων ακεραίων και τις διαφορές της από αυτήν των ακεραίων.

     Σεχτικά με τα παραπάνω κυκλοφόρησε και το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων.

     

    • 26 September - 2 October

       Την εβδομάδα αυτή μελετήσαμε την Θεωρία των γραμμικών ισοτιμιών και συστημάτων, μικρό Θεώρημα του Fermat, την φ-συνάρτηση του Euler, το θέώρημα του Euler,εφαρμογές, όπως τα κριτήρια διαιρετότητας, g-αδική παράσταση ακεραίων, η ημέρα της εβδομάδας, Υπολογισμός του ορθόδοξου Πάσχα, ύψωση σε δύναμη καικαι εύρεση ρίζας( modn).

      Επίσης κυκλοφόρησε και το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.

      • 3 October - 9 October

         Κατά την τρίτη εβδομάδα μαθημάτων αναφερθήκαμε κυρίως  στις τετραγωνικές ισοτιμίες και τον τετραγωνικό νόμο αντιστροφής του Gauss. Διαπιστώθηκε ότι τελικά το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση των λύσεων modp,όπου ο p είναι πρώτος αριθμόςκαι ιδιαίτερα ότι στην περίπτωσηπου ο p είναι ισότιμος προς το 1(mod4) ΔΕΝ υπάρχει ντετερμινιστικός αλγόριθμος εύρεσης των λύσεων. Παρουσιάστηκε  μάλιστα ένας πιθανοθεωρητικός αλγόριθμος ,κάτι που επίσης δεν διδάσκεται στο αντίστοιχο προπτυχιακό μάθημα.

        Ως εδώ θεωρούμε ότι καλύψαμε την διδασκόμενη ύλη του προπτυχιακού μαθήματος,παρά το ότι υπάεχουν αρκετά άλλα θέματα προσ συζήτηση. Την τελευταία ώρα μπήκαμε στο δεύτερο μέρος, την Αριθμητική τω αρρήτων ποσοτήτων δευτέρου βαθμού. Το Καφάλαιο αυτό αρχίζει με την ιστορικά πιο μελετημένη ακολουθία. Αυτή των αριθμών Fibonacci.

        • 10 October - 16 October

            Το περιεχόμενο των διαλέξεων της εβδομάδος ήταν Αριθμοθεωρητικές ιδιότητες των αριθμών  Fibonacci , .οπως διαιρετότητα, ΜΚΔ, πλήθος ψηφίων του n-στου αριθμού Fibonacci,πλήθως βημάτων για την εύρεση  του ΜΚΔ δύο ακεραίων, περιοδικότητα της ακολουθίας σημείο εισόδου (entry point) ενός αριθμού στην ακολουθία, ιδιαίτερα όταν ο αριθμός αυτός είναι πρώτος και ότι η ακολουθία είναι πλήρης. Επίσης ορισμός της ακολουθίας Lucas,σχέση μεταξύ των δύο ακολουθιών και την εξίσωση Pell που επαληθεύουν.

           Ασκήσεις Φυλλάδιο 30,  οι 5 πρώτες ασκήσεις της αντίστοιχης παραγράφου του βιβλίου.

          • 17 October - 23 October

             Την εβδομάδα αυτην ασχοληθήκαμεμε την μελέτη αναδρομικών ακολουθιών τάξεως 2, το θεώρημα πιστοπίησης πρώτων αριθμών Mersenne των Lucas-Lehmer  και στη συνέχεια με τη θεωρία των συνεχών κλασμάτων ρητών αριθμών, τους συγκλίνοντες και τις ιδιότητες τους. Τέλος λύσαμε την γραμμική ισοδυναμία  με χρήση της θεωρίας των συνεχών κλασμάτων.

             Ασκήσεις τέσσερις από την παράγραφο του Βιβλίου για τους αριθμούς Lucas. Μία με χρήση του προγράμματος SAGE, να ελεγχθεί αν ο  Μ17 είναι πρώτος.

            • 24 October - 30 October

              Το συνεχές κλάσμα ενός πραγματικού αριθμού, Η βέλτιστη προσέγγιση, Το θεώρημα του Hurwitz,ισοδύναμοι αριθμοί. Ασκήσεις 10 δόθηκαν στο μάθημα.

              • 31 October - 6 November

                το Θεώρημα του Serret, το Θεώρημα του Markoff, Περιοδικά συνεχή κλάσματα, 

                Θεώρημα των  Euler Lagrange.

                • 7 November - 13 November

                  • 14 November - 20 November

                    Συνεχή κλάσματα και περιοδικότητα σε άρρητες ποσότητες δευτέροπυ βαθμού της μορφής, $$\sqrt{D}$$.

                    Αλγόριθμος παραγοντοποίησης φυσικών αριθμών με χρήση της θεωρίας των συνεχών κλασμάτων.

                    • 21 November - 27 November

                      • 28 November - 4 December

                        • 5 December - 11 December

                          • 12 December - 18 December

                            • 19 December - 25 December

                              • 26 December - 1 January

                                • 2 January - 8 January

                                  • 9 January - 15 January

                                    • 16 January - 22 January

                                      • 23 January - 29 January

                                        • 30 January - 5 February