\(\)Ορίσαμε τους κώδικες Hamming, $\mathrm{Ham}(r,q)$ πάνω από το σώμα $\mathbb{F}_q$ και δείξαμε ότι έχουν παραμέτρους $[(q^r-1)/(q-1), (q^r-1)/(q-1) - r, 3]$.
Μιλήσαμε για την έννοια της ισοδυναμίας κωδίκων. Δύο κώδικες ονομάζονται ισοδύναμοι εάν ο ένας μπορεί να προκυψει από τον άλλο με μία μετάθεση των συντεταγμένων και πολαπλασιαμό των συντεταγμένων με μη μηδενική σταθερά (κάθε συντεταγμένη μπορεί να πολλαπλασιαστεί με διαφορετική σταθερά). Για πράδειγμα, η παρακάτων απεικόνιση δίνει ισοδύναμους κώδικες (για $n=4$)
\[ \phi : (c_1,c_2,c_3,c_4)\ \mapsto\ (\lambda_2 c_2, \lambda_3 c_3, \lambda_1 c_1, \lambda_4 c_4) \]
Δείξαμε το φράγμα του Hamming: Κάθε κώδικας $C$ με μήκος $n$ και ελάχιστη απόσταση $d$, πάνω από ένα αλφάβητο με $q$ σύμβολα ικανοποιεί την ανισότητα
\[ |C| \leq \frac{q^n}{\sum_{i=0}^{e}\ \binom{n}{i} (q-1)^i } \]
όπου $e=\lfloor (d-1)/2 \rfloor$.
Δείξαμε ότι οι κώδικες Hamming ικανοποιούν το φράγμα με ισότητα. Κάθε κώδικας που "πιάνει" την ισότητα στο φράγμα του Hamming ονομάζεται τέλειος (perfect).