Τρ 14-2-2017: Ημερολόγιο Μαθήματος, Τμ. Β: Ολοκλήρωμα Riemann

\(\)Είδαμε κατ' αρχήν σήμερα την έννοια της διαμέρισης ενός φραγμένου διαστήματος $[a,b]$ και πώς σε κάθε φραγμένη συνάρτηση $f:[a,b]\to\RR$ και σε κάθε διαμέριση ${\mathcal P}$ του $[a,b]$ αντιστοιχούμε τα κάτω και άνω Riemann αθροίσματα της $f$, τα $L(f,{\mathcal P}), U(f, {\mathcal P})$.

Είδαμε έπειτα ότι $L(f,{\mathcal P}) \le U(f, {\mathcal P})$, ότι αν ${\mathcal P}_2$ είναι μια εκλέπτυνση της ${\mathcal P}_1$ τότε

$L(f,{\mathcal P}_1) \le L(f,{\mathcal P}_2) \le U(f,{\mathcal P}_2) \le U(f,{\mathcal P}_1)$,

και τέλος ότι αν ${\mathcal P}, {\mathcal Q}$ είναι δύο διαμερίσεις του ίδιου διαστήματος τότε $L(f,{\mathcal P}) \le U(f, {\mathcal Q})$.

Ορίσαμε έπειτα τα κάτω και άνω Riemann ολοκληρώματα της $f$ στο $[a,b]$ να είναι τα supremum και infimum αντίστοιχα όλων των κάτω και όλων των άνω Riemann αθροισμάτων της $f$ στο διάστημα αυτό. Το κάτω ολοκλήρωμα της $f$ είναι πάνω μικρότερο ή ίσο από το άνω ολοκλήρωμα της $f$ ακριβώς επειδή $L(f,{\mathcal P}) \le U(f, {\mathcal Q})$ για κάθε δύο διαμερίσεις ${\mathcal P, Q}$.

Αν το κάτω ολοκλήρωμα ισούται με το άνω Riemann ολοκλήρωμα τότε η κοινή τους τιμή ονομάζεται ολοκλήρωμα Riemann της $f$ και συμβολίζεται με $\int_a^b f(x)\,dx$ και η $f$ ονομάζεται Riemann ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$.

Αποδείξαμε έπειτα ότι οι σταθερές και τμηματικά σταθερές συναρτήσεις είναι Riemann ολοκληρώσιμες και το ίδιο δείξαμε και για τη συνάρτηση $x$ στο $[0,1]$. Γενικότερα αποδείξαμε το πολύ βασικό θεώρημα: κάθε συνεχής συνάρτηση σε κλειστό φραγμένο διάστημα είναι Riemann ολοκληρώσιμη στο διάστημα αυτό. Βασικό συστατικό της απόδειξης ήταν η ομοιόμορφη συνέχεια της $f$ στο $[a,b]$.

Διαβάστε από τις σημειώσεις Μήτση, Κεφ. 7, έως και σελ.103 και από τις σημειώσεις Παπαδημητράκη, Κεφ. 6, έως και παρ. 6.3.

Last modified: Tuesday, 14 February 2017, 11:29 AM