Πέ, 23-2-2017: Ημερολόγιο μαθήματος, Τμ. Β: Ακολουθίες συναρτήσεων, σύγκλιση κατά σημείο και ομοιόμορφη. Μετρική.

\(\)Σήμερα μιλήσαμε για την έννοια της ακολουθίας συναρτήσεων $f_n:A\to\RR$, όπου $A \subseteq \RR$ είναι ένα κοινό πεδίο ορισμού για όλες τις $f_1(x), f_2(x), f_3(x), \ldots$.

Είδαμε την έννοια της κατά σημείο σύγκλισης της $f_n$ σε μια συνάρτηση $f:A\to\RR$:

Η $f_n$ συγκλίνει κατά σημείο στην $f$ αν $\forall x \in A:\ \lim_n f_n(x) = f(x)$.

Έπειτα είδαμε την έννοια της ομοιόμορφης σύγκλισης:

Η $f_n$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην $f$ στο σύνολο $A \subseteq \RR$ αν για κάθε $\epsilon>0$ υπάρχει $n_0 \in \NN$ τ.ώ.  $n \ge n_0 \Longrightarrow \forall x\in A:\ \Abs{f_n(x)-f(x)} \le \epsilon$.

Η ομοιόμορφη σύγκλιση συνεπάγεται την κατά σημείο σύγκλιση αλλά η αντίστροφη συνεπαγωγή δεν ισχύει. Είδαμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων $f_n(x) = x+\frac{1}{nx}$ συγκλίνει στην $f(x) = x$ κατά σημείο στο σύνολο $\RR\setminus\Set{0}$, αλλά δε συγκλίνει ομοιόμορφα στο σύνολο αυτό. Είδαμε επίσης το παράδειγμα $g_n(x) = 1+\frac{\sin x}{n}$ που συγκλίνει ομοιόμορφα (άρα και κατά σημείο) στην $g(x) = 1$ σε ολόκληρο το $\RR$.

Κατασκευάσαμε επίσης παράδειγμα ακολουθίας $f_n(x)\ge 0$ που συγκλίνουν κατά σημείο στην $f(x)=0$ στο διάστημα $[0,1]$, είναι συνεχείς στο διάστημα αυτό και επίσης δε συγκλίνουν ομοιόμορφα.

Ορίσαμε την έννοια της μετρικής σε ένα χώρο "σημείων" $X$, ως μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών $\rho(x,y)$ με $x,y \in X$ με τις παρακάτω ιδιότητες:

  1. $\forall x, y \in X:\ \rho(x,y) \ge 0$ και $\rho(x,y)=0$ αν και μόνο αν $x=y$.
  2. $\forall x,y \in X:\ \rho(x,y) = \rho(y,x)$, και
  3. $\forall x, y, z \in X:\ \rho(x,y) \le \rho(x,z)+\rho(z,y)$ (τριγωνική ανισότητα).

Είδαμε διάφορα παραδείγματα χώρων $X$ εφοδιασμένων με μετρική $\rho$ (κάτι τέτοιο ονομάζεται μετρικός χώρος), μεταξύ των οποίων και η μετρική Hamming. Είδαμε επίσης και την $\infty$-μετρική σε ένα χώρο συναρτήσεων $A \to X$, όπου η απόσταση ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις $f, g:A \to\ X$ ορίζεται να είναι

$\rho(f,g) = \sup_{x \in A} \Abs{f(x)-g(x)}$.

Είδαμε ότι το να συγκλίνει η ακολουθία $f_n:A \to\ \RR$ ομοιόμορφα στο $A$ στη συνάρτηση $f:A \to \RR$ είναι ισοδύναμο με τη σύγκλιση $\rho(f_n ,f) \to 0$.

Διαβάστε για τη σύγκλιση ακολουθιών από το Κεφ. 8 των σημειώσεων Μήτση. Για τους μετρικούς χώρους μπορείτε να διαβάσετε από το Κεφ. 11 των σημειώσεων Παπαδημητράκη.

Last modified: Thursday, 23 February 2017, 11:44 AM