Πέ 6-4-2017: Ημερολόγιο μαθήματος, Τμ Β: Σύγκλιση σε μετρικούς χώρους. Ανοιχτά και κλειστά σύνολα.

\(\)Δείξαμε σήμερα κατ' αρχήν κάποιες ανισότητες που συνδέουν τις μετρικές $d_1, d_2, d_\infty$ στο χώρο $\RR^2$. Οι ανισότητες αυτές είναι.

$$d_\infty(x,y) \le d_1(x,y) \le 2 d_\infty(x,y),$$

$$d_\infty(x,y) \le d_2(x,y) \le \sqrt{2} d_\infty(x,y),$$

$$d_2(x,y) \le d_1(x,y) \le \sqrt{2} d_2(x,y).$$

Ορίσαμε το τι σημαίνει σύγκλιση ακολουθίας σε μετρικό χώρο και είδαμε διάφορα παραδείγματα. Είδαμε επίσης ότι οι παραπάνω ανισότητες για τις τρεις μετρικές στο $\RR^2$ έχουν ως συνέπεια ότι, για αυτές τις τρεις μετρικές (όχι αναγκαστικά για άλλες μετρικές), η έννοια της σύγκλισης είναι η ίδια (εν γένει το αν $x_n \to x$ εξαρτάται από το σε ποια μετρική το κοιτάμε, αφού σημαίνει να ισχύει $\rho(x_n, x) \to $, για τη μετρική $\rho$).

Ορίσαμε τι σημαίνει ανοιχτά και κλειστά σύνολα και είδαμε ότι ενώσεις οσωνδήποτε στο πλήθος ανοιχτών συνόλων είναι πάλι ανοιχτά και τομές πεπερασμένων στο πλήθος ανοιχτών είναι πάλι ανοιχτές. Παρόμοιες προτάσεις ισχύουν και για τα κλειστά (αφού αυτά είναι τα συμπληρώματα των ανοιχτών).

Διαβάστε μέχρι και τη σελ. 9 των σημειώσεων Μήτση.

Last modified: Thursday, 6 April 2017, 11:17 AM