Weekly outline

  • General

                                ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

                                                      

  • 22 September - 28 September

    Παραδείγματα επίλυσης διοφαντικών εξισώσεων. Εξισώσεις πρώτου βαθμού, πυθαγόρειες τριάδες, εξίσωση του Fermat  για n=4.

  • 29 September - 5 October

    p-αδικοί  αριθμοί, ακέραιοι  p- αδικοί αριθμοί,αλγεβρικές ιδιότητες, p-δικές (προσθετικές) εκτιμήσεις, 

    p-Norm, πλήρωση σώματος ως προς μία Norm. 

  • 6 October - 12 October

    Το Local-Global principle.

    (Το Θεώρημα των Hasse- Minkowski, για τετραγωνικές μορφές.)

    Το Λήμμα του Hensel στην ασθενή και ισχυρή μορφή του.

    Κριτήριο ελέγχου ύπαρξης λύσης  μιας κωνικής τομής σε κάποιο p-αδικό

    σώμα αριθμών.

  • 13 October - 19 October

     Απόδειξη του "πρακτικού Θεωρήματος ελέγχου ύπαρξης

    λύσης μιας δευτεροβαθμίου εξισώσεως  σε ένα p-αδικό σώμα αριθμών.

    Σχετικά παραδείγματα.

  • 20 October - 26 October

    Ρίζες μιας δευτεροβαθμίου εξισώσεως σε κάποιο p -αδικό σώμα, γενική θεωρία τετραγωνικών μορφών και αντιπαραδείγματα του θεωρήματος των Hasse- Minkowski   για εξισώσεις ανωτέρου βαθμού. Στατιστικά στοιχεία για μιά κλάση καμπύλων(άρθρο των  Bruin-Stoll 2009 )

  • 27 October - 2 November

    Βασικές έννοιες αλγέβρας και αλγεβρικά σύνολα. Το Nullstellensatz.

    • 3 November - 9 November

      Αλγεβρικές καμπύλες, ιδιάζοντα σημεία και τάξη αυτών.

    • 10 November - 16 November

      Απαλοίφουσα δύο πολυωνύμων, Διακρίνουσα ενός πολυωνύμου,σημεία τομής δύο

      επιπέδων αλγεβρικών καμπυλών, ορισμός και ιδιότητες της πολλαπλότητας τομής.

    • 17 November - 23 November

      Σημεία καμπής μιας αλγεβρικής καμπύλης, μη-ιδιάζουσες κυβικές καμπύλες και κανονική

      μορφή αυτών.

    • 24 November - 30 November

      Κεφάλαιο IV

      Αριθμητική αλγεβρικών καμπυλών.Το γένος μιάς αλγεβρικής καμπύληςκαι η "επιρροή" του γένους στο χαρακτηρισμό της αριθμητικής των ρητών σημείων αυτής.

      Ελλειπτικές καμπύλες και γεωμετρική απόδειξη ότι το σύνολο των ρητών σημείων αποτελεί αβελιανή ομάδα με πράξη τη μέθοδο της χορδής και της εφαπτομένης.

      • 1 December - 7 December

         Ρητά σημεία κυβικών καμπυλών.

         Παραδείγματα και μέθοδοι υπολογισμού.

        Το Θεώρημα των Lutz-Nagell.

        (Απόδειξη και παραδείγματα)

      • 8 December - 14 December

        Το Θεώρημα του Mordell.Σκιαγράφηση της απόδειξης. Το θεώρημα του Tate και παραδείγματα υπολογισμού του rank.Μία ιδέα για την εύρεση ελλειπτικής καμπύληs με μεγάλο rank.

        Το παγκόσμιο, μέχρι σήμερα, ρεκόρ είναι r=28 N. Elkies (2006)

         

        • 15 December - 21 December

          Ελλειπτικές καμπύλες ορισμένες σε πεπερασμένα σώματα.Υπολογισμός των ρητών σημείων τους. Το Θεώρημα του Hasse, η εικασία του  Riemann για αλγεβρικές καμπύλες.Το πρώτο

          σχετικό αποτέλεσμα αποδείχθηκε από τον Gauss.(9-7-1814).

           Η θεωρία έχει εξαιρετικές εφαρμογές στην κρυπτογραφία,

          L-σειρές ελλειπτικών καμπυλών, Ισοδύναμοι αριθμοί και οι γενικεύσεις τους.

          • 22 December - 28 December

            • 29 December - 4 January

              • 5 January - 11 January

                • 12 January - 18 January

                  • 19 January - 25 January

                    • 26 January - 1 February

                      • 2 February - 8 February