General
ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
![]() |
Χώρος συζητήσεων σχετικά με το μάθημα
![]() |
Χώρος συζητήσεων σχετικά με το μάθημα
p-αδικοί αριθμοί, ακέραιοι p- αδικοί αριθμοί,αλγεβρικές ιδιότητες, p-δικές (προσθετικές) εκτιμήσεις,
p-Norm, πλήρωση σώματος ως προς μία Norm.
Το Local-Global principle.
(Το Θεώρημα των Hasse- Minkowski, για τετραγωνικές μορφές.)
Το Λήμμα του Hensel στην ασθενή και ισχυρή μορφή του.
Κριτήριο ελέγχου ύπαρξης λύσης μιας κωνικής τομής σε κάποιο p-αδικό
σώμα αριθμών.
Απόδειξη του "πρακτικού Θεωρήματος ελέγχου ύπαρξης
λύσης μιας δευτεροβαθμίου εξισώσεως σε ένα p-αδικό σώμα αριθμών.
Σχετικά παραδείγματα.
Ρίζες μιας δευτεροβαθμίου εξισώσεως σε κάποιο p -αδικό σώμα, γενική θεωρία τετραγωνικών μορφών και αντιπαραδείγματα του θεωρήματος των Hasse- Minkowski για εξισώσεις ανωτέρου βαθμού. Στατιστικά στοιχεία για μιά κλάση καμπύλων(άρθρο των Bruin-Stoll 2009 )
Βασικές έννοιες αλγέβρας και αλγεβρικά σύνολα. Το Nullstellensatz.
Αλγεβρικές καμπύλες, ιδιάζοντα σημεία και τάξη αυτών.
Απαλοίφουσα δύο πολυωνύμων, Διακρίνουσα ενός πολυωνύμου,σημεία τομής δύο
επιπέδων αλγεβρικών καμπυλών, ορισμός και ιδιότητες της πολλαπλότητας τομής.
Σημεία καμπής μιας αλγεβρικής καμπύλης, μη-ιδιάζουσες κυβικές καμπύλες και κανονική
μορφή αυτών.
Κεφάλαιο IV
Αριθμητική αλγεβρικών καμπυλών.Το γένος μιάς αλγεβρικής καμπύληςκαι η "επιρροή" του γένους στο χαρακτηρισμό της αριθμητικής των ρητών σημείων αυτής.
Ελλειπτικές καμπύλες και γεωμετρική απόδειξη ότι το σύνολο των ρητών σημείων αποτελεί αβελιανή ομάδα με πράξη τη μέθοδο της χορδής και της εφαπτομένης.
Ρητά σημεία κυβικών καμπυλών.
Παραδείγματα και μέθοδοι υπολογισμού.
Το Θεώρημα των Lutz-Nagell.
(Απόδειξη και παραδείγματα)
Το Θεώρημα του Mordell.Σκιαγράφηση της απόδειξης. Το θεώρημα του Tate και παραδείγματα υπολογισμού του rank.Μία ιδέα για την εύρεση ελλειπτικής καμπύληs με μεγάλο rank.
Το παγκόσμιο, μέχρι σήμερα, ρεκόρ είναι r=28 N. Elkies (2006)
Ελλειπτικές καμπύλες ορισμένες σε πεπερασμένα σώματα.Υπολογισμός των ρητών σημείων τους. Το Θεώρημα του Hasse, η εικασία του Riemann για αλγεβρικές καμπύλες.Το πρώτο
σχετικό αποτέλεσμα αποδείχθηκε από τον Gauss.(9-7-1814).
Η θεωρία έχει εξαιρετικές εφαρμογές στην κρυπτογραφία,
L-σειρές ελλειπτικών καμπυλών, Ισοδύναμοι αριθμοί και οι γενικεύσεις τους.