Weekly outline

  • Θεωρία Δακτυλίων και Modules



    Βασικές  πληροφορίες για το μάθημα 

     Το μάθημα χωρίζεται σε τρία μέρη.

     Το πρώτο μέρος περιλαμβάνει τη βασική Θεωρία Δακτυλίων.

     Το δεύτερο μέρος περιλαμβάνει τη Θεωρία των modules.

     Το τρίτο μέρος περιλαμβάνει εφαρμογές, κυρίως στην Αλγεβρική Γεωμετρία.

    Εξεταστικό:

    ---- Ασκήσεις  30%

    --- Πρόοδο  20%

    --- Τελικό  50%

      Βιβλιογραφία:

    Σημειώσεις του Ν. Γ. Τζανάκη,

    1. Κ. Λάκκη, Άλγεβρα, Θεσσαλονίκη 1993,

    2.  Δ. Βάρσου κ.α., Μια εισαγωγή στην Άλγεβρα, Εκδόσεις Σοφία 2005,

    3. J. B. Fraleigh, Εισαγωγή στην Άλγεβρα, ΠΕΚ, Ηράκλειο 1994,

    4. Iain T. Adamson, Elementary Rings and Modules, Oliver and Boyd, Edinburgh 1972.

    5. B. Hartley and T.O. Hawkes, Rings, Modules and Linear Algebra, Chapman and Hall 1976.





  • 8 February - 14 February

    Πρώτο μάθημα την Δευτέρα 8η Φεβρουαρίου.

     Κεφάλαιο Ι

    § 1  Ορισμός του δακτυλίου, παραδείγματα και βασικές ιδιότητες.

    Ορίστηκαν οι έννοιες του δακτυλίου, του αντιμεταθετικού δακτυλίου καθώς και του δακτυλίου

    με μοναδιαίο. Στη συνέχεια δόθηκαν δέκα, γενικά, παραδείγματα δακτυλίων και ακολούθησαν

    βασικές ιδιότητες των δακτυλίων.

    Παρασκευή 12η Φεβρουαρίου.

    §2  Ακέραια περιοχή, σώμα.

    Ορισμός της δράσης του δακτυλίου των ακεραίων αριθμών στον δακτύλιο R, ορισμός της έννοιας των διαιρετών του μηδενός, της έννοιας της ακεραίας περιοχής. Απόδειξη ότι στην ακέραια περιοχή ισχύει ο νόμος της διαγραφής. Απόδειξη ότι ένας δακτύλιος  των κλάσεων modn είναι ακεραία περιοχή ακριβώς τότε όταν ο n είναι πρώτος αριθμός, παραδείγματα ακεραίων  περιοχών και μη, ορισμός της έννοιας του σώματος, απόδειξη ότι η ακεραία περιοχή των κλάσεων υπολοίπων modp  είναι σώμα για κάθε πρώτο αριθμό p. Ορισμός της έννοιας της χαρακτηριστικής ενός  δακτυλίου. 


  • 15 February - 21 February

     Δευτέρα 15η Φεβρουαρίου,

    Υποδακτύλιοι και σώμα πηλίκων.

     Ορίστηκε η έννοια του υποδακτυλίου ενός δακτυλίου,αποδείχθηε η πρόταση χαρακτηρισμού  του πότε ένα, μη-κενό, υποσύνολο ενός δακτυλίου είναι υποδακτύλιος, δόθηκαν αρκετά παραδείγματα και επεξηγήθηκε η "ιδιάζουσα" κατάσταση της ύπαρξης ή μη μοναδιαίου στον δακτύλιο και στον υποδακτύλιο και ποιά είναι η σχέση τους. Αντίστοιχες έννοιες για το πότε ένα , μη-κενό, υποσύνολο σώματος είναι σώμα. Τέλος δόθηκε η διαδικασία κατασκευής  του σώματος πηλίκων  μιας ακεραίας περιοχής. 

     Πέμπτη, 18η Φεβρουαρίου 

    Ομομορφισμός, μονομορφισμός, επιμορφισμός , ισομορφισμός δακτυλίων (φυσικά και ενδομορφισμός και αυτομρφισμός) Η ομομορφική εικόνα είναι υποδακτύλιος του"  δακτυλίου τιμών". Η έννοια του πυρήνα ενός ομομορφισμού, η έννοια του ιδεώδους και του δακτλίου πηλίκων.

  • 22 February - 28 February

    Τρίτη,  23η Φεβρουαρίου 2016

     Ο πυρήνας ενός ομομορφισμού δακτυλίων αποτελείται ακριβώς από το μηδενικό στοιχείοτότε και μόνο τότε όταν ο ομομορφισμός είναι μονομορφισμός.Ομομορφισμός προβολή από τον R  σε δακτύλιο πηλίκων και πρώτο θεώρημα ισομορφίας. Κάθε ομομορφισμός δακτυλίων, μεταξύ σωμάτων είναι ο μηδενικός ομομορφισμός ή μονομορφισμός.

    Κεφάλαιο ΙΙ, Δακτύλιοι και διαιρετότητα

    Ορισμός της διαιρετότητας σε αντιμεταθετικούς δακτυλίους και της έννοιας της μονάδας σε αντιμεταθετικό δακτύλιο με μοναδιαίο. Το σύνολο των μονάδων είναι πολλαπλασιαστική ομάδα. Ορισμός της Ευκλείδειας  περιοχής και του αναγώγου στοιχείου.

    Πέμπτη, 25η Φεβρουαρίου του2016

    Ορισμός του πρώτου στοιχείου σε ακεραία περιοχή.Απόδειξη ότι κάθε πρώτο στοιχείο του R  είναι ανάγωγο. Απόδειη όι ο δακτύλιος των ακεραίων είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Κάθε Ευκλείδεια περιοχή είναι ΠΚΙ. Απόδειξη της πρότασης 

    (1) Αν ένα ιδεώδες Α ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου με μοναδιαίο περιέχει μονάδα τότε ταυτίζεται με τον δακτύλιο.

    (2)  Το <a> διαιρεί το  <b> ακριβώς τοτε όταν το a  διαιρεί το b.

    (3) Αν   R ακεραία περιοχή και a  στοιχείο του R, διάφορο του μηδενός τότε

    <a>=<b>    ακριβώς τότε όταν τα  a και b είναι συνεταιρικά,

    Η ομάδα των μονάδων διαφόρων δακτυλίων.




  • 29 February - 6 March

     1η  Μαρτίου 2016

    Ο  δακτύλιος των πολυωνύμων με συντελεστές από κάποιον δακτύλιο. Βαθμός πολυωνύμου,,μονάδες του δακτυλίου. Διαιρετότητα πολυωνύμων, ανάγωγα πολυώνυμα.

    3η Μαρτίου 2016

    Αλγόριθμος διαίρεσης στον Κ[Χ] . Ανάγωγα πολυώνυμα στα σώματα μιγαδικών αριθμών. πραγματικών αριθμών και στο σώμα των ρητών αριθμών. Λήμμα του Gauss.




  • 7 March - 13 March


     Τρίτη, 8η Μαρτίου 2016

     Λήμμα του Gauss,Κριτήριο του Eisenstein  και εφαρμογές.

     Παρατήρηση: Αν ένα πολυώνυμο είναι ανάγωγο στον δακτύλιο F_p[X]         τότε είναι ανάγωγο και στον Ζ[Χ]. 

    Μέγιστος κοινός διαιρέτης και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο σε περιοχές κυρίων ιδεωδών.

     Πέμπτη, 10η Μαρτίου 2016

     Περιοχές ανάλυσης και περιοχές μονοσήμαντης ανάλυσης.

     Πρόταση:  Μία ακεραία περιοχή R  είναι περιοχή ανάλυσης αν κάθε αύξουσα ακολουθία κυρίων ιδεωδών του  R   γίνεται τελικά σταθερή.


    (Περιοχέs της Noether, Κάθε περιοχή  της    είναι περιοχή ανάλυσης, συνεπώς και κάθε περιοχή

    κυρίων ιδεωδών  είναι περιοχή ανάλυσης. π.χ. Z  και K[X])

      Περιοχές μονοσήμαντης ανάλυσης.

     Πρόταση: Μία περιοχή ανάλυσης είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης ακριβώς τότε όταν 

    κάθε ανάγωγο στοιχείο αυτής είναι πρώτο.


     ΠΡΟΣΟΧΗ:!!!!!!!

     Παρακαλώ το δεύτερο πολυώνυμο της πρώτης άσκησης να το "ξεχάσετε". Δεν εμπίπτει στην ύλη του μαθήματος. Ευχαριστώ! Γ.Α.


     

  • 14 March - 20 March

    Τρίτη, 15η Μαρτίου του 2016

     Ιδιότητες διαιρετότητας σε Π.Κ.Ι., Κάθε Π.Κ.Ι είναι και Π.Μ.Α.

     Θεώρημα Βάσης του Hilbert ( Αν R  περιοχή της Noether  τότε και  R[X]  περιοχή της Noether) Πορίσματα για δακτύλιους πολλών μεταβλητών με συντελεστές από περιοχή της Noether. Η ομομορφική εικόνα περιοχής της Noether    είναι επίσης περιοχή της  Noether.

    Πέμπτη 17η Μαρτίου του 2016

    Θεώρημα του Gauss    (Αν R Π.Μ.Α. τότε και R[X]  Π.Μ.Α.) και εφαρμογές, Λήμμα του Gauss  και κριτήριο του Eisenstein. Μ.Κ.Δ. σε Π.Μ.Α.{  Ευκλ. Περιοχές} περιέχονται γνήσια σε {Π.Κ.Ι.} και αυτές περιέχονται γνήσια σε {Π.Μ.Α.}. Αντιπαραδείγματα.  Οι ακέραιοι  είναι Π.Κ.Ι., αλλά  η Ζ[Χ] όχι!Μονάδες σε δακτυλίους πολυωνύμων, όταν R  ,απλά, αντιμεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο.



  • 21 March - 27 March

     Τριτη 22α Μαρτίου του 2016,

    Η Αριθμητική του δακτυλίου  του    Gauss

    ανάγωγα στοιχεία, νόμος ανάλυσης, άθροισμα δύο τετραγώνων.


     Πέμτη 24η Μαρτίου του 2016

    Επίλυση διοφαντικών εξισώσεων που χρησιμοποιούν την αριθμητική του δακτυλίου του Gauss

    Πράξεις στα ιδεώδη, πρώτα ιδεώδη και maximal       ιδεώδη

    • 28 March - 3 April

      Τρίτη, 29 Μαρτίου τοτ 2016

      Πρόταση:  Αν  R   αντιμεταθετικός δακτύλιος και  P    ιδεώδες του  R  .   

      Ττότε: Το P   είναι πρώτο ιδεώδες ακριβώς τότε όταν ο δακτύλιος πηλίκο είναι   ακεραία περιοχή.

      Πρόταση: Το   ιδεώδες M   του αντιμεταθετικού δακτυλίου R με μοναδιαίο είναι    ακριβώς τότε

      maximal όταν ο δακτύλιος πηλίκο  είναι σώμα.

      Πόρισμα: Κάθε   P  είνα maximal τότε το R είναι πρώτο, το αντίστροφο, εν γένει, δεν ισχύει.

      Αντιπαράδειγμα.

      Πρόταση: Αν P είναι πρώτο ιδεώδες  του R   τότε το P[X]    είναι πρώτο ιδεώδες του R[X].      

      Πέμπτη, 31 Μαρτίου του 2016

       Πρόταση: Αν Α,Β και P    ιδεώδη τουR   και το P είναι   πρώτο ιδεώδες το οποίο διαιρεί το γινόμενο των Α,Β, τότε το P  διαιρεί ένα (τουλάχιστο) από αυτά.

      Πρόταση: Αν  R είναι  περιοχή κυρίων ιδεωδών τότε οι παρακάτω δύο προτάσεις είναι μεταξύ τους

      ισοδύναμες.  1. Το στοιχείο p του R είναι ανάγωγο 2. Το ιδεώδες <p> είναι maximal.

      αρκετά παραδείγματα.


       ΚΕΦΑΛΑΙΟ 30

       Ορισμός του R-module,  βασικές ιδιότητες και παραδείγματα.


      ΠΡΟΣΟΧΗ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

      ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΟΔΟΥ στο μάθημα την Παρασκευή 8 Απριλίου στις 11 το πρωί στην αίθουσα Β208.

    • 4 April - 10 April

       Τρίτη 5η Απριλίου 2016,

      Υπο-modules, πρόσθεση, τομή και πολλαπλασιασμός αυτών,module πηλίκο.


      Πέμπτη, 7η Απριλίου 2016

      ευθέα γινόμενα, ελεύθερα modules,ορισμός και παραδείγματα( και αντιπαράδειγμα ενός μη-ελεύθερου


       Στην άσκηση 5 του 8ου φυλλαδίου  το d  είναι square free. 

    • 11 April - 17 April

      Τρίτη, 12η  Απριλίου του 2016

      Μοναδιαία  R-modules,    όταν R Π.Κ.Ι.

      1. Υπο-module ελεύθερου είναι , στην περίπτωση μας, επίσης ελεύθερο με διάσταση μικρότερη ή ίση αυτής του module.

      2. Υπο-module  ενός πεπερασμένα παραγόμενου module είναι , στην περίπτωση μας, επίσης πεπερασμένα

      παραγόμενο.

      3. module στρέψεως (torsion module) και module ελεύθερο στρέψεως (torsion free).

      4. Αν R αντιμεταθετικός, το σύνολο των σημείων πεπερασμένης τάξης (σημεία στρέψεως) ενός R-module, αποτελεί  υπο-module aυτού.

      5. Αν R ακεραία περιοχή τότε  το M/M_t  είναι torsion free.


      Πέμπτη, 14 Απριλίου του 2016

      1. Παράδειγμα torsion free module το οποίο δεν είναι free.(  Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι δεν είναι

      πεπερασμένα παραγόμενο. (Ας είναι ο δακτύλιος Π.Κ.Ι.)

      2. Ένα πεπερασμένα παραγόμενο ,ελεύθερο στρέψεως R-module , όταν R ΠΚΙ, είναι κατ ανάγκη ελεύθερο.

      3. Ένα πεπερασμένα παραγόμενο R-module,όπου R Π.Κ.Ι, είναι το ευθύ άθροισμα του

      υπο-module στρέψεως αυτού και ενός ελευθέρου υπο-module.

      4. Διατύπωση του θεωρήματος των στοιχειωδών διαιρετών.




      • 18 April - 24 April

         Τρίτη 19, Απριλίου του 2016

        ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV

         Εφαρμογές στη Θεωρία Αριθμών και στην Αλγεβρική Γεωματρία.

        Αλγεβρικοί αριθμοί, ακέραιοι αλγεβρικοί αριθμοί. Τετραγωνικά σώματα αριθμών Κ. Περιοχή των ακεραίων αλγεβρικών αριθμών R των σωμάτων αυτών.  Βάση ακεραιότητας (ελεύθερο Z- module)  της περιοχής των ακεραίων αλγεβρικών αριθμών R του Κ.

        Μονάδες του R.

        Πέμπτη 21 Απριλίου του 2016,

        Θεωρία των συνεχών κλασμάτων, υπολογισμός της θεμελιώδους μονάδας του R  όταν το Κ είναι τετραγωνικό πραγματικό. 

      • 25 April - 1 May

         Διακοπές για τις γιορτές του Πάσχα.

        • 2 May - 8 May


          Διακοπές για τισ γιορτές του Πάσχα.

          • 9 May - 15 May

            Τρίτη 10η  του Μάη

             Σύμβολο του Legendre και ιδιότητες αυτού. Παραδείγματα.

             Γενίκευση. Σύμβολο του Kronecker.

            Νόμος ανάλυσης στα τετραγωνικά σώματα αριθμών, όταν ο δακτύλιος των ακεραίων αλγεβρικών

            αριθμών είναι Π.Κ.Ι.

             Εφαρμογές στην παράσταση πρώτων μέσω τετραγωνικών μορφών. Παραδείγματα.

          • 16 May - 22 May

            Τρίτη,  17η Μαίου του 2016

             Εφαρμογές στην Αλγεβρική Γεωμετρία.

            Πέμπτη 19η Μαρτίου 2016

             Εφαρμογές στην Αλγεβρική Γεωμετρία.

             (Το Nullstellensarz)

              Ανακοίνωση: Την  Τρίτη 24 Μαίου και ώρα 17:00, θα παραδώσετε το δέκατο φυλλάδιο των ασκήσεων, θα τις λύσουμε μαζί, στην αίθουσα Β208 και θα αναφερθούμε στα σχετικά με τα θέματα εξετάσεων.

             Ευχαριστώ όλους τους φοιτητές που παρακολούθησαν το μάθημα.